青蛙跳台阶问题

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题目描述：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

和爬楼梯是一样的题目

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：0 <= n <= 100

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class Solution {
  public int numWays(int n) {

  }
}

方法一：动态规划

此类求 多少种可能性 的题目一般都有 递推性质 ，即 f(n) 和 f(n-1)…f(1) 之间是有联系的。

设跳上 n 级台阶有 f(n) 种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上 1 级或 2 级台阶。

  1. 当为 1 级台阶： 剩 n-1 个台阶，此情况共有 f(n-1) 种跳法；

  2. 当为 2 级台阶： 剩 n-2 个台阶，此情况共有 f(n-2) 种跳法。

f(n) 为以上两种情况之和，即 f(n)=f(n-1)+f(n-2) ，以上递推性质为斐波那契数列。本题可转化为 求斐波那契数列第 n 项的值 ，与 斐波那契数列 等价，唯一的不同在于起始数字不同。

  • 青蛙跳台阶问题： f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2；
  • 斐波那契数列问题： f(0)=0，f(1)=1，f(2)= 1
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// 原动态规划 空间复杂度为 O(n)
class Solution {
  public int numWays(int n) {
    if(n <= 1) return 1;
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
      dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
      dp[i] %= 1000000007;
    }
    return dp[n];
  }
}

// 优化版
class Solution {
  public int numWays(int n) {
    if(n == 0) return 1; // 青蛙爬台阶，示例有 0 = 1
    if(n <= 2) return n;
    int a = 1, b = 2, sum = 0;
    for(int i = 3; i <= n; i++) {
      sum = (a + b) % 1000000007;
      a = b;
      b = sum;
    }
    return b;
  }
}
var numWays = function(n) {
  if(n === 0) return 1
  if(n <= 2) return n
  let a = 1, b = 2, sum = 0
  for(let i = 3; i <= n; i++) {
    sum = (a + b) % 1000000007
    a = b
    b = sum
  }
  return b
};

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(N)，计算 f(n) 需循环 n 次，每轮循环内计算操作使用 O(1)
  • 空间复杂度：O(1)，几个标志变量使用常数大小的额外空间

执行结果：通过

  • 执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户

  • 内存消耗：36.2 MB, 在所有 Java 提交中击败了81.08%的用户

变形：不能跳到7与7的倍数的台阶

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// class Solution {
//   public int numWays(int n) {
//     // if(n == 0) return 1; // 青蛙爬台阶，示例有 0 = 1
//     if(n <= 2) return n;
//     int a = 1, b = 2, sum = 0;
//     for(int i = 3; i <= n; i++) {
//       if(i % 7 == 0) {
//         continue;
//       } else if((i - 1) % 7 == 0) {
//         b = 0;
//       } else if((i - 2) %7 == 0) {
//         a = 0;
//       }
//       sum = (a + b) % 1000000007;
//       a = b;
//       b = sum;
//     }
//     return b;
//   }
// }

变形：不能连续跳两个台阶

题目里“不能连续跳两个台阶”，即一旦跳了两个台阶，则下一步只能跳一步（2->1），把它们连在一起就一共跳了三个台阶，所以问题可以转化为要么跳一个台阶，要么跳三个台阶（当然还是有点区别的，只不过因为结果是一样的，所以可以这么转化），于是就有了 f(x) = f(x-1) + f(x-3)

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public int climbStarts2(int n) {
  if(n <= 1) return 1; // 防止数组溢出（f[2]）
  int[] dp = new int[n+1];
  dp[0] = 1;
  dp[1] = 1;
  dp[2] = 2;
  for(int i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-3];
    dp[i] %= 1000000007;
  }
  return dp[n];
}